이원분산분석 (Two Way ANOVA)

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이원분산분석은 두개의 독립변수가 종속변수에 어떠한 영향을 미치는지를 분석하는 것으로 각각의 독립변수가 종속변수에 미치는 영향을 주효과(Main Effect)라고 하고 2개의 독립변수가 동시에 작용하여 종속변수에 영향을 미치는 것을 상호작용효과(Interaction Effect))라고 한다. 그래서 이원분산분석을 할 때에는 주효과와 상호작용효과 모두를 살펴보아야 한다. 

 

그러나 모든 이원분산분석에서 주효과와 상호작용효과를 살펴볼 수 있는 것은 아니다. 예를 들어 집단을 나타내는 두개의 독립변수가 1개의 관측치만 갖고 있을 경우에는 주효과만 살펴보면 되고, 관측치가 2개 이상인 집단이 있으면 상호작용효과까지 살펴봐야 한다. (

 

[주효과만 봐야 하는 경우]

만약 분석을 하기 위한 데이터가 아래와 같이 각 셀이 하나씩 밖에 없다면 상호작용효과는 볼 수 없다.  

	대도시(n)	중/소도시(n)	학교유형 별 수학 평균
남여공학(n)	11	9	78.3
남학교(n)	6	4	80.2
여학교(n)	5	3	77.5
지역별 수학 평균	79.2	76.4	79.2

이와 같은 경우, 독립변수를 나타내는 학교유형 집단 간에 종속변수(수학평균)에 통계적으로 유의미한 차이가 있는지를 검정하고, 그리고 또 다른 독립변수인 지역간에 종속변수(수하평균)에 통계적으로 유의미한 차이가 있는지를 개별적으로 다시 검정하면 된다.

 

 

[주효과와 상호작용효과를 모두 봐야 하는 경우]

아래와 같이 학교유형에 해당하는 세개의 집단 내에 관측치가 2개 이상이고, 지역에 해당하는 두개의 집단내의 관측치가 2개 이상인 경우에는 주효과와 더불어 상호작용효과까지 살펴볼 수 있다.

	학교유형	지역	수학평균
1	남여공학	대도시	77.1
2	여학교	대도시	74.3
3	남학교	대도시	80.5
4	남여공학	대도시	83.2
5	남학교	중소도시	79.4
6	여학교	중소도시	76.6
7	남학교	중소도시:	81.2
:	:	:	:
n	남여공학	중소도시	75.3

주효과와 상호작용효과를 모두 볼 수 있는 경우에는 앞서 언급한 것처럼 학교유형 집단 간에 수학평균에 통계적으로 유의미한 차이가 있는지 살펴보고, 지역간 수학평균에 통계적으로 유의미한 차이가 있는지 살펴봐야 한다. 여기까지가 주효과를 검정하는 것이고, 그리고 학교유형과 집단 간 평균차이에 상호작용효과가 있는지 검정해야 한다. 

 

첨부된 데이터의 구조는 주효과와 상호작용효과를 모두 살펴볼 수 있는 구조를 가지고 있다. 그러나 여기에서, 주효과만을 검정하는 방법과 주효과와 상호작용효과 모두를 검정하는 방법을 살펴보고자 한다. 우선, 주효과만 살펴보는 방법은 다음과 같다.

 

summary(aov(종속변수~독립변수1+독립변수2, data=데이터명)
summary(aov(Scores~Location+SchoolTypes, data=df))

그 결과는 다음과 같다. 지역이 같은 학생들의 점수는 학교 유형에 따라 통계적으로 유의미한 점수(Scores)의 차이가 있는 것을 알 수 있고, 학교유형이 같은 학생의 경우 지역에 따라 통계적으로 유의미한 점수의 차이를 찾을 수 없었다. 

            Df Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)   
Location     1    182   181.5   1.962 0.16750   
SchoolTypes  2   1215   607.6   6.567 0.00294 **
Residuals   50   4626    92.5                   
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

 

주효과와 상호작용 효과를 살펴보는 코드는 다음과 같다.

summary(aov(종속변수~독립변수1+독립변수2+독립변수1:독립변수2, data=데이터명))
summary(aov(Scores~Location+SchoolTypes+Location:SchoolTypes, data=df))

그 결과는 다음과 같다. 지역이 같은 학생들의 점수는 학교 유형에 따라 통계적으로 유의미한 점수(Scores)의 차이가 있는 것을 알 수 있고, 학교유형이 같은 학생의 경우 지역에 따라 통계적으로 유의미한 점수의 차이를 찾을 수 없었다.  그리고 지역과 학교유형의 통계적으로 유의미한 상호작용 효과를 찾을 수 없었다.

                     Df Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)   
Location              1    182   181.5   2.123 0.15165   
SchoolTypes           2   1215   607.6   7.105 0.00198 **
Location:SchoolTypes  2    521   260.7   3.049 0.05668 . 
Residuals            48   4104    85.5                   
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

 

참고로 df 데이터를 이용해서 각각의 집단별 평균을 보여주는 테이블을 만들고 싶다면 aggregate 명령어를 사용하면 된다. 

새로운 데이터명 <- aggregate(데이터명$종속변수, by=list(데이터명$독립변수1, 데이터명$독립변수2), FUN=mean)
df2 <- aggregate(df$Scores, by=list(df$Location, df$SchoolTypes), FUN=mean)
df2

새로운 데이터명인 df2를 실행시키면 다음과 같은 테이블을 생성할 수 

   Group.1 Group.2        x
1     City Coe_Sch 38.22222
2 Suburban Coe_Sch 28.22222
3     City   F_Sch 24.55556
4 Suburban   F_Sch 18.77778
5     City   M_Sch 24.00000
6 Suburban   M_Sch 28.77778